壊れたメガネ

ホッチキスの達人の意識の高いブログ。

写像のお勉強

恒等写像


写像fが集合X上の恒等写像であるとは

f: X -> X
∀x∈X, f(x) = x

で定義される写像の事。
idX
の様に記述する。

単射


写像fが単射であるとは
Xの任意の元xに対し、f(x)∈Yがただ一つ定まること

f(x1) = f(x2) => x1 = x2

性質(左逆写像の存在)

fが単射なら
g○f = idX(X上の恒等写像)
となるg: Y -> Xが存在する。

全射


写像fが全射であるとは
fによるXの像がYに等しい写像のこと。
つまり、

f(X) = Y

または

∀y∈Y,∃x∈X f(x) = y

性質(右逆写像の存在)

写像fが全射である時

f○g = idY

となる写像

g: Y -> X

が存在する。
fの逆写像が存在するということではない。
この性質は直感的に解り辛かった。
fは必ずしも単射ではなく、

y = f(x1) = f(x2), x1 != x2

となるようなyがあった場合、そのyの対応、g(y)はどうなるのかと心配していた。
しかし、gの具体的な対応規則には目をつむる事が出来るということに気づいた。
要するにg(y)が

x1 = g(y)
x2 = g(y)

どっちになってもよいと考えることが出来た。
もちろん写像の定義により、

x1 = g(y)

となる場合にg(y)がx2になり得ることはないし、その逆も然り。
すなわちその対応はどっちでも良い。
ただ写像としてg(y)∈Xが一意に定まってさえいればよい。
ちょろっと本を読んだ感じだと、このへんが「選択公理」とやらに繋がっているらしい。
選択公理についてちょっと調べてみたが、現在のところはっきりいってイミフである。

写像


写像gが次の様に定められる写像f: X -> Yの逆写像であるとは
YからXへの写像のうち

g: Y -> X
f○g = idY(単射による性質、右逆写像)
g○f = idX(全射による性質、左逆写像)

を満たす写像のこと。
写像は、その元の写像が単射の性質(右逆写像の存在)と、
全射の性質(左逆写像の存在)を持っているときに定義できる。
つまり、fは全射であり、単射である必要がある。

連続


連続について少し思いを巡らせてみた。
(以下に書かれている事は何かを調べてみてとか、参考にして書いたものではなく、
曖昧な記憶と思い込みによってかかれた与太です。
アウトプットの為に書いたというよりは単なるメモです。)
次のような写像fを思ってみる

1... f: X -> Y
2... ∃x∈X, f(x)∉Y

この様な記号の記述は誰かに習ったことがないため間違っているかもしれない。
1と2は互いに矛盾しているかもしれない。
2で示されるようなxをxuとおく。
関数y = f(x) = 1/xを考えてみる。
x-y平面上でx = 0以外の座標においてyが定まるため座標(x, 1/x)をプロットできる。
このとき、「fはx = 0において連続でない」
といっていた気がする。
位相空間ではない集合X, Yにおいて考えてみても、そういう写像を考えることは出来る。
このときも「連続でない」という言い方をするのだろうか。。。ぎもん。

参考


写像 - Wikipedia
単射 - Wikipedia
全射 - Wikipedia
逆写像 - Wikipedia
2.3 全射・単射・全単射
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