壊れたメガネ

ホッチキスの達人の意識の高いブログ。

写像・直積のお勉強

今更だけど、集合論っておもしろいと思い始めた今日この頃。
集合論って一口に言っても素朴集合論ってのと公理的集合論てのがあるんですね。
どっちを勉強しているのか?と聞かれると「わかりません」と答えるしか無い。。。恐らく素朴集合論と呼ばれるものでしょう。
掘り進めるうちにウィキペディアなんかで挙げられているパラドックスに突き当たって、公理的集合論を意識していくんだろうと思います。

写像

写像とはある集合の元を他方の集合の元に対応させる規則のこと。


f: A -> B

fは始域Aから終域Bへの写像
このときAの元aに対するBの元はただ一つでなければならない。
つまり、

f(a) = b1 もしくは b2

ということがあってはならない。

fは対応規則を抽象化したものであるから、fによる像がその時々によって異なる場合、その点についてこの式は充分に抽象化されていないといえる。


f(a) = b1 もしくは b2

という式には、fによる像がb1もしくはb2にぶれるという対応が現れていない。
つまり曖昧さが残っている。


この曖昧さをどのように表現するか?

思いつく方法を列挙してみた。


  1. 異なる像をとる「場合」が定まっているとき

    場合ごとに像を定めた書き方をする。これはよくあるやり方。

    f(x) = b1(if 何らかの条件1), b2 (if 何らかの条件2), ...



  2. 新しい写像を持ってくる

    この曖昧さを表現する新たな写像

    g: C -> B

    を用意し、写像fを

    f: A -> C

    として、曖昧さを解決する。


    f(a∈A) = c∈C
    g(c∈C) = b1もしくはb2(?)

    ?解決出来てない。

    1.の様な写像をgとすればいいのかもしれないが、そうしたらfとgを合成する意味無いな。


  3. 引数を追加する

    写像fを

    f: X×Y -> B

    と定義し直す。

    f(x∈X) = b1もしくはb2

    と定まらなかった値も,
    y∈Yを導入し、これがぶれを決定づけるものとする。

    f(x∈X, y1∈Y) = b1
    f(x∈X, y2∈Y) = b2

    コレいい感じ。


直積

X×Yは集合Xと集合Yの直積集合という集合で。元zはx∈Xとy∈Yの組み合わせ。


z∈X×Y = (x∈X, y∈Y)

一般に

(x, y) ≠ (y, x)

参考


写像 - Wikipedia
対応 (数学) - Wikipedia
多価関数 - Wikipedia